Aziz Akyürek; 12 Mayıs 1882 tarihinde babasının memur olarak bulunduğu Trabzon'da doğdu. Edirne vilayeti defterdarı olan Kars kökenli Hasanbayraktarzade ailesine mensup Erzurumlu Mehmet Mithat Efendi ile Hanife Lebibe Hanım'ın oğludur.İlk öğrenimini Adana Mekteb-i İbtidaisi'nde 1897'de tamamlamıştır. 1902'de Mekteb-i Mülkiye-yi Şahane'den mezun olmuştur. Sicilinde Türkçe'den başka Fransızca, İngilizce ve Ermenice konuşabildiği ve yazabildiği belirtilmektedir.
Aziz Akyürek İzmir Valisi iken 1927 yılında Üçüncü Yasama Yılı için Erzurum'dan milletvekili seçilerek, Erzurum milletvekilliği görevini 4,5,6 ve 7. Dönemlerde de sürdürdü.
5 Ağustos 1946 tarihinde milletvekilliği son bulan Aziz Akyürek 29 Mayıs 1947 tarihinde Vakıflar Genel Müdürlüğü İdare Meclisi Başkanlığı'na atanmıştır. 13 Temmuz 1947 tarihinde yaş haddinden emekliye ayrıldığı Ankara'da 15 Ağustos 1951 tarihinde ölmüştür.
